کمی هم ریاضی!
من فیلم 21 را هنوز ندیدهام، اما انگار در این فیلم یک سوال احتمال بسیار جالب طرح شده است، که دراین یکی دو هفتهی گذشته، چند نفر از شاگردان و حتی دوستانم، هرکدام جداگانه از من راجع به پاسخ آن توضیح خواستهاند. بههرحال این چیزها هم از عواقب معلم ریاضیات گسسته بودن است!
اما سوال، که در حقیقت مسئلهای واقعاً جالب و در واقع نوعی سوال هوش است:
«در یک مسابقهی تلویزیونی، تعدادی در (مثلاً شما فرض کنید پنج تا) وجود دارد که پشت یکی از آنها جایزهای گرانبها (مثلاً یک ماشین آخرین سیستم) و پشت بقیهی درها خالی است. شما یکی از درها را به هوای بردن جایزه انتخاب میکنید، سپس مجری یکی دیگر از درها که میداند پشت آن جایزه وجود ندارد، برای کمک به شما حذف میکند و از شما میخواهد دوباره یکی از درها را انتخاب کنید. حالا ما چه کار کنیم که شانس بردنمان زیادتر شود؟ همان دری که قبلاً انتخاب کردهایم را دوباره انتخاب کنیم؟ در دیگری را انتخاب کنیم؟ یا اینکه هیچ تفاوتی نمیکند کدامیک از درهای باقیمانده را انتخاب کنیم؟»
(توضیح تکمیلی: 1ـ مجری دری که شما انتخاب کردهاید را حذف نمیکند. 2ـ مجری پشت دری را که انتخاب کردهاید را هیچگاه به شما نشان نمیدهد! و بالاخره 3ـ مجری چه شما در را درست انتخاب کرده باشید و چه غلط، بههرحال یکی از درهایی که پشت آن جایزه نیست را حذف میکند.)
اما قبل از پاسخگویی به سوال و با توجه به اینکه برای جوابدادن به آن، هیچ نیازی به داشتن اطلاعات خاصی از ریاضی نیست، پیشنهاد میکنم قبل از اینکه جواب من را ببینید، حتماً خودتان روی سوال فکر کنید. (و حداقل امیدوارم اگر حوصله نمیکنید به سوال فکر کنید، دستکم حوصله داشته باشید پاسخ من را تا انتها بخوانید!)
برای سادگی کار و فهم آسانتر ابتدا من مسئله را در حالتی که مثلاً پنج در وجود دارد، جواب میدهم، سپس با تعمیم آن به حالتی کهn در وجود دارد، سوال را در حالت کلی پاسخ میدهم. اما جواب سوال، در حالتی که پنج در وجود دارد و فقط پشت یکی از درها جایزه است:
اجازه بدهید یک بار دیگر مسئله را شرح دهیم. ما نمیدانیم پشت کدام در جایزه است، بنابراین یکی از درها را انتخاب میکنیم. (مثلاً در شمارهی 1) و سپس مجری در دیگری را حذف میکند. ( مثلاً در شمارهی 2) حالا کدام بهتر است: دوباره در شمارهی 1 را انتخاب کنیم؟ یکی از درهای شمارههای 3 ، 4 یا 5 را انتخاب کنیم، یا اینکه فکر میکنید هیچ فرقی نمیکند کدامیک از چهار درباقیمانده را انتخاب کنیم؟
یک نگاه سادهانگارانه به مسئله ما را به سوی این جواب رهنمون میکند که: فرقی نمیکند کدام در را انتخاب کنیم و انتخاب هیچکدام از درها در شانس بردن جایزه تاثیری ایجاد نمیکند. در واقع استدلال ما در این حالت چنین است: چون ما بعد از حذف یک در با چهار در مواجهیم، پس شانس وجود داشتن جایزه در پشت هرکدام از درها یک چهارم یا 25/0 است.
اما پاسخ سوال به همین سادگیها هم نیست. بدیهی است هر دری را که شما انتخاب کنید، یک از چهار حالت زیر اتفاق میافتد:
1ـ جایزه پشت دری است که ما انتخاب کردهایم و ما پس از حذف یک در توسط مجری دری که ابتدا انتخاب کردهایم راعوض نمیکنیم.
2ـ جایزه پشت دری است که ما انتخاب کردهایم و ما پس از حذف یک در توسط مجری دری که ابتدا انتخاب کردهایم راعوض میکنیم و در دیگری را انتخاب میکنیم.
3ـ جایزه پشت دری که ما انتخاب کردهایم نیست و ما پس از حذف یک در توسط مجری دری که ابتدا انتخاب کردهایم راعوض نمیکنیم.
4ـ جایزه پشت دری که ما انتخاب کردهایم نیست و ما پس از حذف یک در توسط مجری دری که ابتدا انتخاب کردهایم راعوض میکنیم و در دیگری را انتخاب میکنیم.
اجازه دهید این حالتها را یک یه یک بررسی کنیم:
1ـ جایزه پشت دری است که ما انتخاب کردهایم و ما پس از حذفشدن یکی از درها، مجدداً همان در قبلی را انتخاب میکنیم. (یعنی اینکه مثلاً جایزهی پشت در شمارهی 1 است. ما نیز ابتدا در شمارهی 1 را انتخاب میکنیم، سپس مجری مثلاً در شمارهی 2 را حذف میکند و ما مجدداً در شمارهی 1 را انتخاب میکنیم.)
خب در این حالت، احتمال اینکه ما ابتدا در درست (اینجا در شمارهی 1) را انتخاب کرده باشیم، یکپنجم یا 2/0 است، اما اگر ابتدا در درست را انتخاب کرده باشیم و در مرحلهی بعد نیز در انتخابیمان را عوض نکنیم و روی انتخاب آن پافشاری کنیم، حتماً وصد در صد یا به عبارت دیگر با احتمال 1جایزه را میبریم. (صد در صد = یک) در نتیجه با لحاظ هر دو مرحله انتخاب و با توجه به اینکه در مرحلهی اول یک در از میان پنج در را انتخابکردهایم، شانس بردن جایزه در این حالت برابر است با: 2/0= 1× 2/0
2- جایزه پشت دری است که ما انتخاب کردهایم و ما پس از حذفشدن یکی از درها، در دیگری را انتخاب میکنیم. (یعنی اینکه مثلاً جایزهی پشت در شمارهی 1 است. ما نیز ابتدا در شمارهی 1 را انتخاب میکنیم، بعد مجری مثلاً در شمارهی 2 را حذف میکند و سپس ما مثلاً در شمارهی 3 را انتخاب میکنیم.)
در این حالت، احتمال اینکه ما ابتدا در درست (اینجا در شمارهی 1) را انتخاب کرده باشیم، یکپنجم یا 2/0 است، اما اگر ابتدا در درست را انتخاب کرده باشیم و در مرحلهی بعد در انتخابیمان را عوض کنیم، طبیعتاً به هیچوجه امکان ندارد جایزه را ببریم (چون جایزه پشت در شمارهی 1 است و ما در دیگری را انتخاب کردهایم.) بنابراین احتمال بردن جایزه در این حالت برابر صفر است. در نتیجه با لحاظ هر دو مرحله انتخاب، شانس بردن جایزه در این حالت برابر است با: 0= 0× 2/0
در نتیجه: «اگر ما دری که در مرحلهی اول انتخاب کردیم، دوباره نیز انتخاب کنیم، به احتمال 2/0 جایزه را میبریم.»
اما برویم سراغ حالتهای 3 و 4:
3ـ جایزه پشت دری که ابتدا ما انتخاب کردهایم، نیست و ما پس از حذفشدن یکی از درها، مجدداً همان در قبلی را انتخاب میکنیم. (یعنی اینکه مثلاً جایزهی پشت در شمارهی 1 است، ما در ابتدا در شمارهی 2 را انتخاب میکنیم، سپس مجری مثلاً در شمارهی 3 را حذف میکند و ما روی انتخاب اولیهمان پافشاری کرده و مجدداً در شمارهی 2 را انتخاب میکنیم.)
در این حالت، احتمال اینکه ما ابتدا در نادرست (اینجا درهای شمارههای 2 ، 3 ، 4 یا 5) را انتخاب کرده باشیم، چهارپنجم یا 8/0 است، اما اگر ابتدا در درست را انتخاب نکرده باشیم و در مرحلهی بعد نیز در انتخابیمان را عوض نکنیم و روی انتخاب آن پافشاری کنیم، مسلماً جایزه را از دست میدهیم و احتمال بردنمان در این حالت برابر صفر است، چون دری که اول انتخاب کردهایم، نادرست بوده و ما نیز آن را عوض نکردهایم. در نتیجه با لحاظ هر دو مرحله انتخاب و با توجه به اینکه در مرحلهی اول یک در از میان پنج در را انتخابکردهایم، شانس بردن جایزه در این حالت برابر است با: 0= 0× 8/0
4ـ اما به حالت چهارم که جالبترین حالت و در برگیرندهی پاسخ سوال است بپردازیم. خوب دقت کنید: جایزه پشت دری که ابتدا ما انتخاب کردهایم، نیست، اما پس از حذفشدن یکی از درها، ما در دیگری را انتخاب میکنیم. (یعنی اینکه مثلاً جایزهی پشت در شمارهی 1 است، ما در ابتدا در شمارهی 2 را انتخاب میکنیم، سپس مجری مثلاً در شمارهی 3 را حذف میکند و ما روی انتخاب اولیهمان پافشاری نکرده، در دیگری را انتخاب میکنیم.)
در این حالت، احتمال اینکه ما ابتدا در نادرست (اینجا درهای شمارههای 2 ، 3 ، 4 یا 5) را انتخاب کرده باشیم، چهارپنجم یا 8/0 است، اما اگر ابتدا در درست را انتخاب نکرده باشیم و در مرحلهی بعد در انتخابیمان را عوض کنیم و روی انتخاب اولیهمان پافشاری نکنیم، بدیهی است که باید یک از سه در باقیمانده را انتخاب کنیم (اینجا درهای 1، 4 یا 5 چرا که ما ابتدا در شمارهی 1 را انتخاب کرده بودیم، و مجری نیز در شمارهی 3 را حذف کرد و فقط سه در دیگر باقی ماند.) احتمال بردنمان در این حالت برابر یکسوم یا 33/0 است (انتخاب یک در از میان سه در). درنتیجه با لحاظ هر دو مرحله انتخاب و با توجه به اینکه در مرحلهی اول چهار در از میان پنج در و در مرحلهی دوم یک در از میان سه در را انتخابکردهایم، شانس بردن جایزه در این حالت برابر است با: 26/0= 33/0× 8/0
در نتیجه: «اگر ما دری که در مرحلهی اول انتخاب کردیم، دوباره انتخاب نکنیم، و به جای آن در دیگری انتخاب کنیم، به احتمال 26/0 جایزه را میبریم.»
بنابراین به عنوان نتیجهگیری کلی میتوانیم بگوییم:«اگر بخواهیم شانس بردنمان افزایش پیدا کند باید انتخاب مرحلهی اولمان را تغییر دهیم و در مرحلهی دوم در دیگری را انتخاب کنیم.»
اما حل مسئله در حالت کلی و زمانی که با n در مواجهیم:
متاسفانه چون برنامهی Math Type در محیط وبلاگ کار نمیکند و امکان فرمولنویسی ریاضی برای من فراهم نیست، مجبورم خیلی احمقانه و به فارسی بنویسم. با توجه به توضیحات داده شده زمانی که 5 در وجود داشت و چهار حالت شرح دادهشده، احتمال بردن جایزه در حالتی که دری که ابتدا انتخاب کردهایم را عوض نکنیم، برابر خواهد بود با:
یک به روی n = (ابتدا در درست را انتخاب کنیم و آن را عوض نکنیم.)p
اما اگر دری که در حالت اول انتخاب کردهایم را عوض کنیم و در مرحلهی دوم و پس از حذف یک در توسط مجری، در دیگری را انتخاب کنیم، احتمال بردن جایزه برابر خواهد بود با:
(1- n) به روی (2- n(n = (ابتدا در نادرست و در مرحلهی دوم در درست را انتخاب کنیم.)p
پس اگر در انتخابیمان را عوض کنیم شانس بردنمان به اندازهی: یک به روی (2- n(n افزایش پیدا میکند.
# # #
اما در همین زمینه سوال دیگری به ذهن میرسد که طرح و پاسخگویی به آن نیز خالی از لطف نیست:
«فرض کنید شما تهیهکننده تلویزیونی چنین مسابقهای هستید. محاسبه کنید احتمال آنکه در حالت کلی یک شرکتکننده جایزه را ببرد، چهقدر است؟»
اگر بدانیم شرکتکننده در انتخابی اولیه را عوض کرده است یا نه، پاسخ مشخص است، اما اگر بخواهیم در حالت کلی بدانیم شانس بردن هر کدام از شرکتکنندگان چهقدر است، باید بدانیم احتمال آنکه یک شرکتکننده در را عوض میکند یا نه چهقدر است. بگذارید با پارامترهای مشخص مسئله را بازنویسی کنیم:
«تعداد درها 5 تا است و بر اساس تجربیات قبلی دریافتهایم از میان 100 شرکتکنندهی قبلی 70 نفر دری که اول انتخابکردهاند را عوض نکردهاند و دوباره همان را انتخاب کردهاند، اما 30 درصد دیگر در مرحلهی دوم در را عوض کردهاند. در این صورت احتمال اینکه یک شرکتکننده جایزه را ببرد چهقدر است؟»
خب! در سوال قبل گفتیم اگر یک شرکتکننده در انتخابی اولیه را عوض نکند، به احتمال 2/0 جایزه را میبرد، اما اگر در را عوض کند، به احتمال 26/0 جایزه راخواهد برد. اما حالا که میدانیم از صد شرکتکنندهی قبلی 70 تای آن دوباره همان در را انتخاب کردهاند، بنابراین احتمال آنکه یک شرکتکننده دوباره همان در را انتخاب کند، برابر خواهد با 7/0که در این حالت داریم:
0/22 =0/26 × 0/3 +0/2 × 0/7 = (بردن جایزه)p
بدیهی است هرچهقدر احتمال آنکه یک شرکتکننده دوباره همان در ابتدایی را انتخاب کند، بیشتر شود، احتمال بردن جایزه به 2/0 نزدیکتر و اگر احتمال آنکه یک شرکتکننده دوباره همان در ابتدایی را انتخاب کند، کمتر شود، احتمال بردن جایزه به 26/0 نزدیکتر میشود. خلاصه که این جوری!